题目链接:列队

这题的正解真技巧性,平衡树和线段树做法不再赘述,主要来讲讲这个离线的树状数组倍增是怎么玩的,感觉很妙蛙种子。

简单回顾

回顾几个简单知识点:

  1. 权值树状数组如何找第 \(k\) 大,直接树状数组上倍增找到 \(\sum cnt \le k-1\) 的最大值,而这个 \(\sum cnt +1 \le k\) 即为比答案 \(kth\) 小的数 \(0 \sim kth-1\) 的数量,所以我们倍增出来的最大 \(ans\) 即为 \(kth-1\),自然可以求出 \(kth=ans+1\)

  2. 关于一个只在末尾添加数的序列,我们可以考虑使用动态数组,列表之类的支持插入与随机查找。

对于题目的一次修改我们观察有何变化:

如图所示,红色即为移除的 \((x,y)\),如果它不位于最后一列:

  1. 蓝色一行删除红色,并且整体左移一格。并且此时紫色与蓝色交叉部分的元素变为了蓝色部分的末尾。

  2. 紫色代表最后一列,最后一列移除蓝色一行对应的元素,并且往上移动一格,并加入移除的红色元素。

好了,看到这容易猪脑过载,不知道如何处理,我们考虑到最后一列是比较特殊的,如果该删除的元素位于最后一列,操作变化会少一部分,我们考虑分区讨论操作变化。

我们将原题分为 \(n\) 行区 和 第 \(m\) 列区,这个时候再去讨论变化就会发现容易得多了。分为 \(n\) 行区,我们注意到每行涉及到增加与删除操作:

  1. 在末尾增加一个元素。

  2. 删除从左往右数的第 \(y\) 大的元素。

第一个问题,我们可以使用 \(vector\) 快速实现。第二个问题就较为复杂了,我们考虑把一行单独拿出来讨论有:

其实容易发现,每一行的操作都是独立的,互不影响,而且,最开始的序列也是有规律的,其实就为 \((row-1) \times m+col\)

\[\left[ \begin{array}{scc} 1 & 2 & 3 & 4 &5 &6&7&8&9&10 \\ 11 & 12 & 13&14&15&16&17&18&19&20 \\ 21&22&23&24&25&26&27&28&29&30 \\ 31 &32&33&34&35&36&37&38&39&40 \end{array} \right] \]

而上述红色部分,为末尾添加的新元素。我们这样做处理:

考虑使用树状数组维护每个位置是否有值,即将位置作为权值,因为至多有 \(q\) 次操作,那么对于某一行来说,至多有 \(q\) 个元素加入,考虑 \(m+q\) 个位置,假设一开始都有数,考虑查找和删除的影响:

查找第 \(k\) 大:

  1. 如果第 \(k\) 大的位置 \(<m\),显然这个位置属于原序列等差数列里的位置,可以直接套公式求出来。

  2. 如果第 \(k\) 大的位置 \(\ge m\),显然这个位置属于末尾 \(vetor\) 维护的新序列的某个位置 \(=第\ kth-m\ 个位置\)

删除第 \(k\) 大:

直接树状数组上去掉。其实我们就是将原序列和新序列拼成了 \(n+q\) 的极长序列,这个序列每个位置是否有值用树状数组维护,每次查找的还是第 \(y\) 大的元素。本质还是维护一个序列,只是这个序列比较特别。

本题空间复杂度的真正核心:

对于一个正常的序列,我们可以直接用数组维护,这样可以直接查找,但由于题目的数的数量过多,不能够完全插入,所以我们前半部分有特点的序列我们选择使用公式直接算,从而只维护后半部分新增的序列,这样至多总增加 \(q\) 个数,对于空间复杂度来说就完全正确了。所以也就有了这个巧妙地维护序列方法,本质还是维护一个序列,并无差别。

那么行问题其实就解决了,关于列问题其实也是一致的,其实本题难点就在于空间复杂度的优化,列也用一个树状数组维护,但显然:

每行和列都开一个树状数组空间过大,注意到我们每个问题都是独立的,所以直接离线处理用一个树状数组挨个处理就行了,当然要保证修改和查询时间正确,按行预处理出每个答案的序列位置。最后其实只需要分讨查询正确修改就行,可以观看代码及其注释再行理解。其实本题难点在于维护的这个特殊序列,它的前后部分维护为了空间复杂度进行了优化,否则全部插入数组直接查找完全正确的。

参照代码

#include <bits/stdc++.h>

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")

#define isPbdsFile

#ifdef isPbdsFile

#include <bits/extc++.h>

#else

#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>

#endif

using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};

template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
    return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}

template <typename T>
T lowBit(T x)
{
    return x & -x;
}

template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
    static mt19937 Rand(time(nullptr));
    uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
    return dis(Rand);
}

template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
    return (a % b + b) % b;
}

template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
    a %= c;
    T1 ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)if (b & 1)(ans *= a) %= c;
    return modt(ans, c);
}

template <typename T>
void read(T& x)
{
    x = 0;
    T sign = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch == '-')sign = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    x *= sign;
}

template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
    read(x);
    read(y...);
}

template <typename T>
void write(T x)
{
    if (typeid(x) == typeid(char))return;
    if (x < 0)x = -x, putchar('-');
    if (x > 9)write(x / 10);
    putchar(x % 10 ^ 48);
}

template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
    write(x), putchar(c);
    write(c, y...);
}


template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
    T11 one;
    T22 tow;
    T33 three;

    bool operator<(const T3 other) const
    {
        if (one == other.one)
        {
            if (tow == other.tow)return three < other.three;
            return tow < other.tow;
        }
        return one < other.one;
    }

    T3() { one = tow = three = 0; }

    T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
    {
    }
};

template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
    if (x < y)x = y;
}

template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
    if (x > y)x = y;
}

constexpr int N = 6e5 + 10;
int bit[N];
ll n, m, q, mx;

inline void add(int x, const int val)
{
    for (; x <= mx; x += lowBit(x))bit[x] += val;
}

//倍增找第k大位置
inline int kth(const int k)
{
    int ans = 0, sum = 0;
    for (int i = 20; ~i; i--)
    {
        const int nxt = ans + (1 << i);
        if (nxt > mx)continue;
        if (sum + bit[nxt] < k)ans = nxt, sum += bit[nxt];
    }
    return ans + 1;
}

struct Query
{
    int x, y, id;

    bool operator<(const Query& other) const
    {
        return id < other.id; //按时间戳排序
    }
};

vector<Query> first[N]; //第一次处理1~m-1
Query qu[N]; //所有查询
ll ansIdx[N]; //对于这个特殊序列的答案位置,前半部分为原等差序列,后半部分为vector
vector<ll> row[N], col; //每行和最后一列开一个vector维护后半部分的增加


inline void solve()
{
    cin >> n >> m >> q, mx = max(n, m) + q;
    forn(i, 1, q)
    {
        auto& [x,y,id] = qu[i];
        cin >> x >> y, id = i;
        if (y != m)first[x].push_back(qu[i]); //关于行的影响与查询
    }
    forn(i, 1, mx)add(i, 1);
    forn(i, 1, n)
    {
        vector<int> back;
        sort(all(first[i])); //按时间戳排序
        for (const auto [x,y,id] : first[i])
        {
            const int pos = kth(y);
            ansIdx[id] = pos; //答案在这个特殊序列的位置
            add(pos, -1), back.push_back(pos); //去掉这个数
        }
        for (const auto x : back)add(x, 1); //每行结束恢复树状数组
    }
    forn(i, 1, q)
    {
        auto [x,y,id] = qu[i];
        ll ans;
        const ll pos = kth(x); //这个特殊位置的第x个位置
        //前n行位置为原位置
        ll last = pos <= n ? pos * m : col[pos - n - 1]; //对应的蓝色与紫色交集,即当前行最后一个数
        if (y != m)
        {
            row[x].push_back(last); //当前行维护的为1~m-1个数,第m个数加入
            //前m-1个数(列)为原序列数
            ans = ansIdx[id] <= m - 1 ? (x - 1) * m + ansIdx[id] : row[x][ansIdx[id] - m];
        }
        else ans = last; //第y列为最后一列,所以恰好last即为(x,y)位置的数
        col.push_back(ans); //最后一列插入红色块
        add(pos, -1); //移除元素
        cout << ans << endl;
    }
}

signed int main()
{
    // MyFile
    Spider
    //------------------------------------------------------
    // clock_t start = clock();
    int test = 1;
    //    read(test);
    // cin >> test;
    forn(i, 1, test)solve();
    //    while (cin >> n, n)solve();
    //    while (cin >> test)solve();
    // clock_t end = clock();
    // cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}

\[时间复杂度为:\ O(q\log{MX}),MX=\max{(n,m)}+q \]

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