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线性方程组何时有解
先说结论：克莱姆法则用于求n元线性方程组的唯一解. 下面的定理1、定理2合称克莱姆法则（Cramer’s Rule）.
数域K上n个方程的n元线性方程组：
\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_2,\\ …\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+…+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} \]
系数矩阵记A，增广矩阵\(\widetilde{A}=(A, b)\)，行阶梯形矩阵\(\widetilde{J}=(J,d)\).
\[\begin{aligned} \widetilde{A}\xrightarrow{初等行变换}\widetilde{J}\\ A\xrightarrow{初等行变换}J \end{aligned} \]
1）方程组无解=>\(\widetilde{J}\)有非零行(0,…,0,d)=>J有零行=>\(|J|=0\)，此时，出现“0=d(d≠0)”
2）有解时，有无穷解=>\(\widetilde{J}\)非零行数目r < n=>\(\widetilde{J}\)有零行=>J有零行=>\(|J|=0\)
3）有唯一解=>r=n => \(\widetilde{J}\)有n个非零行，但不能有“(0,…,0,d)”这样的非零行(否则无解)=>J有n个非零行=>J有n个主元=>\(|J|=c_{11}c_{22}…c_{nn}\neq 0\)，形如：
\[J=\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & … & c_{1n}\\ 0 & c_{22} & … & c_{2n}\\ … & … & … & …\\ 0 & 0 & … & c_{nn} \end{vmatrix} \]
其中，\(c_{11},c_{22},…,c_{nn}\)全都不为0
反过来，\(|J|\neq 0\)=>方程组有唯一解 成立吗？
\(|J|\neq 0\)=>J有n个主元=>J主对角线元素均非0=>\(x_n,…,x_2,x_1\)有唯一解=>方程组有唯一解
综上，方程组有唯一解当且仅当\(|J|\neq 0\).
由行列式性质（2、4、7）知，
\[A\xrightarrow{初等行变换}J \]
则有，
\[|J|=l|A|, l\neq 0 \]
∴\(|J|\neq 0\)当且仅当\(|A|\neq 0\).
可得定理：
定理1 数域K上n个方程的n元线性方程组有唯一解充要条件：其系数行列式（即系数行列式|A|）不为0.
证明见上.
推论1 数域K上n个方程的n元齐次线性方程组只有0解的充要条件：其系数行列式不为0. 从而有非0解充要条件是其系数行列式为0.
tips: 齐次线性方程组指常数项全为0，即\(b_1=b_2=…=b_n=0\)；
非齐次线性方程组指常数项不全为0，即\(b_1,b_2,…,b_n\)至少有1个非0.
证明：2个结论
1）
由定理1知，方程组有唯一解充要条件：系数行列式不为0，即\(|A|\neq 0\)
对于齐次线性方程组，0显然是一个解
∴只有0解充要条件：系数行列式不为0，即\(|A|\neq 0\)
2）必要性 假设有非0解
∵0是齐次线性方程组的一个解
如果要有非0解，则必定不止1个解
∴\(|A|=0\)
充分性 假设\(|A|=0\)
此时，方程组要么无解，要么有无穷解
而对于齐次线性方程组，0显然是一个解
∴方程组有无穷解
∴除0解外，其他解必为非0解
故得证
求线性方程组的唯一解
线性方程组如果有唯一解，那么解是什么？
对于2元一次方程组，解为\((\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|})\)，\(B_1, B_2\)是系数矩阵A的第1、2列换成常数项后所得矩阵.
对于n元一次方程组，可以将系数矩阵A的第j列换成常数项，得到\(B_j,j=1,2,…,n\)，即：
\[B_j=\begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & … & a_{1n}\\ a_{21} & … & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & … & a_{2n}\\ … & … & … & … & … & … &…\\ a_{n1} & … & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & … & a_{nn}\\ \end{pmatrix} \]
定理2 n个方程组的n元线性方程组的系数行列式\(|A|\neq 0\)时，其唯一解为
\[(\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|},…,\frac{|B_n|}{|A|}) \]
证明：
由定理1，\(|A|\neq 0\)时方程组有唯一解.
将\(x_i=\frac{|B_j|}{|A|}(j=1,2,…,n)\)代入第i个方程左边：
\[\begin{aligned} &a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+…+a_{in}x_n\\ =&\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{|B_j|}{|A|}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^na_{ij}|B_j|\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^na_{ij}\sum_{k=1}^nb_k(B_{j})_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^na_{ij}\sum_{k=1}^nb_kA_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^na_{ij}b_kA_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_kA_{kj}\\ =&\frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^nb_k(\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj})\\ =&\frac{1}{|A|}b_i|A|=b_i \end{aligned} \]
补充说明：
前面高等代数笔记：行列式提到过，行列式|A|按第i行展开：
\[|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} \]
其中，\(A_{ij}\)是矩阵A的(i,j)元的代数余子式.
因此，\(|B_j|\)按第j列展开：
\[|B_j|=\sum_{k=1}^nb_k(B_j)_{kj} \]
其中，\(b_k\)是\(B_j\)的第j列第k行元素，也是方程组第k个方程的常数项.
而\(A\)替换第j列为常数项 -> \(B_j\)
∴\(|B_j|\)与\(|A|\)的第j列代数余子式相同
即
\[|B_j|=\sum_{k=1}^nb_k(B_j)_{kj}=\sum_{k=1}^nb_kA_{kj} \]
由前面高等代数笔记：行列式知，
\[\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=\begin{cases} |A|, &k=i\\ 0, &k\neq i \end{cases} \]
又k=1,2,..,n, i∈[1,n]
∴只有当k=i时，\(\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}\)取值|A|，其他情形取值0